微积分学示例

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 2

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

解题步骤 3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 4

组合 $\csc (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 6.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 6.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 7

$\csc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ 。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

解题步骤 8

由于 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \cot (2 x) d x$

解题步骤 9

使 $u_{2} = 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{2} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 9.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 9.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

解题步骤 9.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 9.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

解题步骤 9.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 9.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 9.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 9.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 10

组合 $\cot (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 8$ 。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 12.2

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.2

约去公因数。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.3

重写表达式。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 13

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ 。

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 14.2

计算 $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 ((\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 14.3

去掉圆括号。

$4 (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$4 (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 15.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 15.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 15.4

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 15.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 15.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

解题步骤 15.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

解题步骤 15.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

解题步骤 15.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

解题步骤 15.10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

解题步骤 15.11

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$4 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 16.2

$\sqrt{2} - 1$ 约为 $0.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 16.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 约为 $0.70710678$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 16.5

将分子乘以分母的倒数。

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 16.6

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

小数形式：

$2.13919998 \dots$

微积分学 示例

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