微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 1

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\tan (x)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

计算 $\tan (x)$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $- \frac{π}{6}$ 处的值。

$\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.2

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 2.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.6

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$1.15470053 \dots$

微积分学 示例