微积分学示例

$\int r^{2} e^{- \frac{2 r}{a}} d r$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = r^{2}$ ， $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ 。

$r^{2} (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $e^{- \frac{2 r}{a}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$r^{2} (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

解题步骤 2.2

组合 $a$ 和 $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 。

$r^{2} (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

解题步骤 2.3

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ 移到积分外。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{1}{2} a \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $a$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{a}{2} \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- 2 \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{a}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- 2 a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.4

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $- 2 a$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 (1)} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 \cdot 1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- a}{1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.4.2.4

用 $- a$ 除以 $1$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 (a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

解题步骤 4.6

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = r$ ， $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

组合 $e^{- \frac{2 r}{a}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

解题步骤 6.2

组合 $a$ 和 $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

解题步骤 6.3

组合 $r$ 和 $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

解题步骤 6.4

组合 $e^{- \frac{2 r}{a}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a d r)$

解题步骤 6.5

组合 $a$ 和 $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - - \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

解题步骤 8.2

将 $\int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

解题步骤 9

由于 $\frac{a}{2}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{a}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} d r)$

解题步骤 10

使 $u = - \frac{2 r}{a}$ 。然后使 $d u = - \frac{2}{a} d r$ ，以便 $- \frac{a}{2} d u = d r$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = - \frac{2 r}{a}$ 。求 $\frac{d u}{d r}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $- \frac{2 r}{a}$ 求导。

$\frac{d}{d r} [- \frac{2 r}{a}]$

解题步骤 10.1.2

因为 $- \frac{2}{a}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- \frac{2 r}{a}$ 对 $r$ 的导数是 $- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$ 。

$- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2}{a} \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{a}$

解题步骤 10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{2}{a}} d u)$

解题步骤 11

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解题步骤 11.1

将两个负数相除得到一个正数。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{2}{a}} d u)$

解题步骤 11.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{2}{a}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} (1 \frac{a}{2}) d u)$

解题步骤 11.3

将 $\frac{a}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{a}{2} d u)$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{a}{2}$ 和 $e^{u}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - \frac{a e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- \int \frac{a e^{u}}{2} d u))$

解题步骤 13

由于 $\frac{a}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{a}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- (\frac{a}{2} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 14

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解题步骤 14.1

将 $\frac{a}{2}$ 乘以 $\frac{a}{2}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a \cdot a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.2

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.3

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a^{1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 15

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 16

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解题步骤 16.1

将 $- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$ 。

$- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2

化简。

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解题步骤 16.2.1

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{r^{2}}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.2

组合 $a$ 和 $\frac{r^{2}}{2}$ 。

$- \frac{a r^{2}}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.3

组合 $e^{- \frac{2 r}{a}}$ 和 $\frac{a r^{2}}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.4

组合 $r$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{r}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.5

组合 $a$ 和 $\frac{r}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{a r}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.6

组合 $e^{- \frac{2 r}{a}}$ 和 $\frac{a r}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.7

组合 $a^{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{a^{2}}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.8

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{a^{2}}{4}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) + C$

解题步骤 16.2.9

要将 $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 16.2.10

组合 $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + \frac{a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 16.2.11

在公分母上合并分子。

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 16.2.12

将 $2$ 移到 $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ 的左侧。

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})}{2} + C$

解题步骤 17

使用 $- \frac{2 r}{a}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2}}{4})}{2} + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{1}{2} (- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a r - \frac{1}{4} e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2})) + C$

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