微积分学示例

$\int \frac{2 x + 2}{{(x^{2} + 2 x - 4)}^{4}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 2 x - 4$ 。然后使 $d u = (2 x + 2) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x + 2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 2 x - 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 2 x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 4} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- 4}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ 重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{u^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 移到 $u^{3}$ 的左侧。

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

解题步骤 5

使用 $x^{2} + 2 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{3}} + C$

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