微积分学示例

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

解题步骤 5

$\sin (t)$ 对 $t$ 的积分为 $- \cos (t)$ 。

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

解题步骤 7

化简。

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

解题步骤 8

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$

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