微积分学示例

$\int \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 2 x - 7$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 2 x - 7$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 x - 7$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 7]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $2 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.1.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.1.3

将 $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1} + C$

解题步骤 7

将 $- u^{- 1} + C$ 重写为 $- \frac{1}{u} + C$ 。

$- \frac{1}{u} + C$

解题步骤 8

使用 $2 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 x - 7} + C$

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