微积分学示例

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $12 x + 18$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $12 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $18$ 中分解出因数 $6$ 。

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

解题步骤 1.1.3

从 $6 (2 x) + 6 (3)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

解题步骤 2

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

解题步骤 3

使 $u = (x - 1) (x + 4)$ 。然后使 $d u = (2 x + 3) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = (x - 1) (x + 4)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $(x - 1) (x + 4)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

解题步骤 3.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.1.3

求微分。

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解题步骤 3.1.3.1

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.1.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.1.3.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.1.3.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.1.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

解题步骤 3.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

解题步骤 3.1.3.8.2

将 $x + 4$ 乘以 $1$ 。

$x - 1 + x + 4$

解题步骤 3.1.3.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x - 1 + 4$

解题步骤 3.1.3.8.4

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$2 x + 3$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 6.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $(x - 1) (x + 4)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$

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