微积分学示例

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

解题步骤 1

从 $10 x^{3} - 5 x$ 中分解出因数 $5 x$ 。

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解题步骤 1.1

从 $10 x^{3}$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

解题步骤 1.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

解题步骤 1.3

从 $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4.1.4.2.2

约去公因数。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4.1.4.2.3

重写表达式。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 4.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ 的左侧。

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

解题步骤 7

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 。然后使 $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

解题步骤 7.1.2

求微分。

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解题步骤 7.1.2.1

根据加法法则， ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

解题步骤 7.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

解题步骤 7.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

解题步骤 7.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

解题步骤 7.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

解题步骤 7.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1.4.1

因为 $6$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $6$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$2 u_{1} - 1 + 0$

解题步骤 7.1.4.2

将 $2 u_{1} - 1$ 和 $0$ 相加。

$2 u_{1} - 1$

解题步骤 7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 8.2

通过将 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 8.3

将 ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 8.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 11.2

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

微积分学 示例

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