微积分学示例

$\int \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} d t$

解题步骤 1

使 $u = 1 + \sin (t)$ 。然后使 $d u = \cos (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + \sin (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + \sin (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [1 + \sin (t)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 1.1.3

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$0 + \cos (t)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\cos (t)$ 相加。

$\cos (t)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C$

解题步骤 3

使用 $1 + \sin (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| 1 + \sin (t) |) + C$

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