微积分学示例

$\int \frac{\cos (x)}{1 + 2 \sin (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + 2 \sin (x)$ 。然后使 $d u = 2 \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = \cos (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + 2 \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + 2 \sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 + 2 \cos (x)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $2 \cos (x)$ 相加。

$2 \cos (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 6

使用 $1 + 2 \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 \sin (x) |) + C$

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