微积分学示例

$\int \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 1

用 $8 x^{3} - 1$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $8 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$4 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

解题步骤 1.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

解题步骤 1.12

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

解题步骤 1.13

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

解题步骤 1.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x - 1$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

解题步骤 1.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$
										$0$

解题步骤 1.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$\int 4 x^{2} + 2 x + 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + x + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{4}{3} x^{3} + x^{2} + x + C$

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