微积分学示例

$\int \frac{4 x^{3} - 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{4 x^{3}}{x} + \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{4 x^{3}}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 3.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 3.1.2.3

约去公因数。

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 3.1.2.4

重写表达式。

$\int \frac{4 x^{2}}{1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 3.1.2.5

用 $4 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\int 4 x^{2} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 3.2

将负号移到分数的前面。

$\int 4 x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

解题步骤 8.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 8.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 8.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 8.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 8.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 8.3.2.3

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

解题步骤 8.3.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 8.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.4.1

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 8.4.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 8.4.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 8.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{4 x^{3}}{3} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 10.2

化简表达式。

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解题步骤 10.2.1

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{4 x^{3}}{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.2

重新排序项。

$\frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

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