微积分学示例

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

解题步骤 4.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.5.2

重写表达式。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{1} d x$

解题步骤 4.6

化简。

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x d x$

解题步骤 4.7

将 $4 x^{- \frac{1}{2}}$ 和 $5 x$ 重新排序。

$\int 5 x + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$5 (\frac{1}{2}) x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{5}{2} x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{2} x^{2} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

微积分学 示例

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