微积分学示例

$y = \sin (\sin (x))$ , $(3 π, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3 π$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 1.3

重新排序 $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ 的因式。

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 3 π$ 处的导数。

$\cos (3 π) \cos (\sin (3 π))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (π) \cos (\sin (3 π))$

解题步骤 1.5.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (0) \cos (\sin (3 π))$

解题步骤 1.5.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1 \cos (\sin (3 π))$

解题步骤 1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cos (\sin (3 π))$

解题步骤 1.5.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 1 \cos (\sin (π))$

解题步骤 1.5.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 1 \cos (\sin (0))$

解题步骤 1.5.7

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 1 \cos (0)$

解题步骤 1.5.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 1$ 和给定点 $(3 π, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (3 π))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = - 1 \cdot (x - 3 π)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = - 1 \cdot (x - 3 π)$

解题步骤 2.3.2

化简 $- 1 \cdot (x - 3 π)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$y = - 1 x - 1 (- 3 π)$

解题步骤 2.3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = - x - 1 (- 3 π)$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - x + 3 π$

解题步骤 3

微积分学 示例

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