微积分学示例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 4 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 4 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $4 \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $4 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 16 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $16 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(4 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $4 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$\int {(4 \sin (t))}^{3} d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $4 \sin (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int {(4 (\sin (t)))}^{3} d t$

解题步骤 2.2.2.2

对 $4 (\sin (t))$ 运用乘积法则。

$\int 4^{3} \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 2.2.2.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int 64 \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $64$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $64$ 移到积分外。

$64 \int \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 4

因式分解出 $\sin^{2} (t)$ 。

$64 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (t)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (t)$ 的形式。

$64 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

解题步骤 6

使 $u = \cos (t)$ 。然后使 $d u = - \sin (t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 6.1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- \sin (t)$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$64 \int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$64 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$64 (- u + C + \int u^{2} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$64 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$64 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $\cos (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$64 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

解题步骤 11.2

使用 $\arcsin (\frac{x}{4})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$64 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{4})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x}{4})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{x}{4}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ 。

$64 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$64 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{4}$ 。

$64 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$64 (- \sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.5

在公分母上合并分子。

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.7

在公分母上合并分子。

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.8

将 $\frac{4 + x}{4}$ 乘以 $\frac{4 - x}{4}$ 。

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.10

将 $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ 。

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解题步骤 12.1.10.1

从 $(4 + x) (4 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.10.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$64 (- \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.11

从根式下提出各项。

$64 (- (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.1.12

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))$ 。

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3}) + C$

解题步骤 12.3

运用分配律。

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

解题步骤 12.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.1

将 $- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$64 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

解题步骤 12.4.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (16) \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

解题步骤 12.4.3

约去公因数。

$4 \cdot 16 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

解题步骤 12.4.4

重写表达式。

$16 (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

解题步骤 12.5

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

解题步骤 12.6

化简分子。

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解题步骤 12.6.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{4}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.5

在公分母上合并分子。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.7

在公分母上合并分子。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.8

将 $\frac{4 + x}{4}$ 乘以 $\frac{4 - x}{4}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.10

将 $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ 。

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解题步骤 12.6.10.1

从 $(4 + x) (4 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.10.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.11

从根式下提出各项。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.12

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4})}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.6.13

对 $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ 运用乘积法则。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14

化简分子。

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解题步骤 12.6.14.1

将 ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.2

对 $(4 + x) (4 - x)$ 运用乘积法则。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.3

将 ${(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}$ 重写为 ${((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ 。

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解题步骤 12.6.14.3.1

因式分解出 ${(4 + x)}^{2}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.3.2

因式分解出 ${(4 - x)}^{2}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) ({(4 - x)}^{2} (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.3.3

移动 $4 + x$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.3.4

将 ${(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}$ 重写为 ${((4 + x) (4 - x))}^{2}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.3.5

添加圆括号。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.4

从根式下提出各项。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 + x) (4 - x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.5

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 12.6.14.5.1

运用分配律。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 (4 - x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.5.2

运用分配律。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.5.3

运用分配律。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 12.6.14.6.1

化简每一项。

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解题步骤 12.6.14.6.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.6.1.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.6.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.6.14.6.1.5.1

移动 $x$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.6.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.6.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 0 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.6.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.7

运用分配律。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.8

从 $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

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解题步骤 12.6.14.8.1

从 $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.8.2

从 $- x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.8.3

从 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (16 - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.9

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4^{2} - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.14.10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = x$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{4^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.6.15

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}}{3} + C$

解题步骤 12.7

化简每一项。

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解题步骤 12.7.1

将分子乘以分母的倒数。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 (\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}) + C$

解题步骤 12.7.2

乘以 $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 12.7.2.1

将 $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

解题步骤 12.7.2.2

将 $64$ 乘以 $3$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{192} + C$

解题步骤 12.7.3

约去 $64$ 的公因数。

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解题步骤 12.7.3.1

从 $192$ 中分解出因数 $64$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 (3)} + C$

解题步骤 12.7.3.2

约去公因数。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

解题步骤 12.7.3.3

重写表达式。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

解题步骤 12.8

要将 $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

解题步骤 12.9

组合 $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

解题步骤 12.10

在公分母上合并分子。

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

解题步骤 12.11

化简分子。

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解题步骤 12.11.1

从 $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ 中分解出因数 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

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解题步骤 12.11.1.1

从 $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3$ 中分解出因数 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

解题步骤 12.11.1.2

从 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ 中分解出因数 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.1.3

从 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))$ 中分解出因数 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.2

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.3

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 12.11.3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 (4 - x) + x (4 - x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.3.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.3.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 12.11.4.1

化简每一项。

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解题步骤 12.11.4.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.4.1.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}{3} + C$

解题步骤 12.11.4.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.11.4.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}{3} + C$

解题步骤 12.11.4.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 12.11.4.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 0 - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 12.11.4.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 12.11.5

将 $- 48$ 和 $16$ 相加。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 32 - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 12.12

将 $- 32$ 重写为 $- 1 (32)$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 12.13

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - (x^{2}))}{3} + C$

解题步骤 12.14

从 $- 1 (32) - (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32 + x^{2}))}{3} + C$

解题步骤 12.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (32 + x^{2})}{3} + C$

微积分学 示例

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