微积分学示例

$\int \frac{1}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{3}}} d x$

解题步骤 2

使 $x = 3 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 3 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $3 \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $3 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - (3^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - (9 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - 9 \sin^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1) - 9 \sin^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

从 $- 9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

从 $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 \cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.6

对 $9 \cos^{2} (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{9^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.7

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{729 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.8

将 ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{729 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{729 \cos^{6} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.9

将 $729 \cos^{6} (t)$ 重写为 ${(27 \cos^{3} (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(27 \cos^{3} (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{27 \cos^{3} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2

约去 $3 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $27 \cos^{3} (t)$ 中分解出因数 $3 \cos (t)$ 。

$\int \frac{1}{3 \cos (t) (9 \cos^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{3 \cos (t) (9 \cos^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{9 \cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 转换成 $\sec^{2} (t)$ 。

$\frac{1}{9} \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 6

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$\frac{1}{9} (\tan (t) + C)$

解题步骤 7

化简。

$\frac{1}{9} \tan (t) + C$

解题步骤 8

使用 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{9} \tan (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{1}{9} \tan (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

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