微积分学示例

$\int \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

解题步骤 1

用 $x^{2} - 1$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

+

$1$

$x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	-	$x$
						-	$x$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	-	$x$
						-	$x$	-	$1$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$	-	$1$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	-	$x$
						-	$x$	-	$1$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

					$x$	-	$1$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	-	$x$
						-	$x$	-	$1$
						-	$x$	-	$1$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 1$ 中的所有符号

					$x$	-	$1$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	-	$x$
						-	$x$	-	$1$
						+	$x$	+	$1$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x$	-	$1$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	-	$x$
						-	$x$	-	$1$
						+	$x$	+	$1$
									$0$

解题步骤 1.11

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$\int x - 1 d x$

$\int x - 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} - x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$