微积分学示例

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

将 $e^{x^{3}}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int x^{2} {(e^{x^{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(e^{x^{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{2} e^{x^{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\int x^{2} e^{- 1 \cdot x^{3}} d x$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1 x^{3}$ 重写为 $- x^{3}$ 。

$\int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = e^{- x^{3}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = e^{- x^{3}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $e^{- x^{3}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $- x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ 的因式。

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

解题步骤 2.1.4.2

将 $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{3} u_{2} + C$

解题步骤 5

使用 $e^{- x^{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$

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