微积分学示例

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 为正数。

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对 $\frac{3 \sec (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2.2

对 $3 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

约去公因数。

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5.2

重写表达式。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $9 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $9 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3 \sec (t)}{2}$ 。

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{2}{3 \sec (t)}$ 和 $3$ 。

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.5

组合 $\frac{6}{3 \sec (t)}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.6

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $6 \tan (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

从 $3 \sec (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去公因数。

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.6.2.3

重写表达式。

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ 乘以 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 。

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.8

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.9

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.10

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.13

将 $2$ 移到 $\sec (t)$ 的左侧。

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.14

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.14.1

从 $6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.14.2.1

从 $2 \sec (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.14.2.2

约去公因数。

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.14.2.3

重写表达式。

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.15

约去 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.15.1

约去公因数。

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.15.2

用 $3 \tan^{2} (t)$ 除以 $1$ 。

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 7

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

解题步骤 8

化简。

$3 (- t + \tan (t)) + C$

解题步骤 9

使用 $arcsec (\frac{2 x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{2 x}{3})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ 为 $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

解题步骤 10.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

解题步骤 10.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{2 x}{3}$ 和 $b = 1$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

解题步骤 10.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

解题步骤 10.1.5

在公分母上合并分子。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

解题步骤 10.1.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

解题步骤 10.1.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

解题步骤 10.1.8

在公分母上合并分子。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

解题步骤 10.1.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

解题步骤 10.1.10

将 $\frac{2 x + 3}{3}$ 乘以 $\frac{2 x - 3}{3}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

解题步骤 10.1.11

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

解题步骤 10.1.12

将 $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ 。

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解题步骤 10.1.12.1

从 $(2 x + 3) (2 x - 3)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

解题步骤 10.1.12.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

解题步骤 10.1.12.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

解题步骤 10.1.13

从根式下提出各项。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

解题步骤 10.1.14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

解题步骤 10.2

要将 $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

解题步骤 10.3

组合 $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

解题步骤 10.4

在公分母上合并分子。

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

解题步骤 10.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

约去公因数。

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

解题步骤 10.5.2

重写表达式。

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

解题步骤 10.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

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