微积分学示例

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} - 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

解题步骤 1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{- \frac{2}{3}} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ 。然后使 $d u = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{\frac{1}{3}} - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 3]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x^{\frac{1}{3}} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

解题步骤 2.1.5

化简。

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解题步骤 2.1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

解题步骤 2.1.5.2

合并项。

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解题步骤 2.1.5.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

解题步骤 2.1.5.2.2

将 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 3 u d u$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int u d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ 重写为 $3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ 。

$3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

解题步骤 5.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} u^{2} + C$

解题步骤 6

使用 $x^{\frac{1}{3}} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + C$

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