微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对 $\frac{2 \sec (t)}{3}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.2.2

对 $2 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.5.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $4 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $4 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{2 \tan (t)}$ 乘以 $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ 。

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $2 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

从 $6 \tan (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.3.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.4

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

解题步骤 4

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

解题步骤 6

使用 $arcsec (\frac{3 x}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

解题步骤 7

重新排序项。

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$

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