微积分学示例

$\int \frac{1}{t \sqrt{t}} d t$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

化简。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{t \cdot t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $t$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{t^{1} t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{t^{1 + \frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.1.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{1}{t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 1.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{1}{t^{\frac{2 + 1}{2}}} d t$

解题步骤 1.1.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} d t$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

通过将 $t^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

解题步骤 1.2.2

将 ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int t^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d t$

解题步骤 1.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int t^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d t$

解题步骤 1.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int t^{\frac{- 3}{2}} d t$

解题步骤 1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 2

根据幂法则， $t^{- \frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$ 重写为 $- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$ 。

$- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

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