微积分学示例

$\int \frac{1}{x \ln^{8} (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{8}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{8}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{8})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{8})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{8 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 8} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- 8}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{7} u^{- 7}$ 。

$- \frac{1}{7} u^{- 7} + C$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- \frac{1}{7} u^{- 7} + C$ 重写为 $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{u^{7}} + C$ 。

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{u^{7}} + C$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{u^{7}}$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$- \frac{1}{u^{7} \cdot 7} + C$

解题步骤 4.2.2

将 $7$ 移到 $u^{7}$ 的左侧。

$- \frac{1}{7 u^{7}} + C$

解题步骤 5

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{7 \ln^{7} (x)} + C$

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