微积分学示例

$\int \frac{1}{3 + 25 x^{2}} d x$

解题步骤 1

从 $3 + 25 x^{2}$ 中分解出因数 $25$ 。

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解题步骤 1.1

从 $3$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25}) + 25 x^{2}} d x$

解题步骤 1.2

从 $25 x^{2}$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25}) + 25 (x^{2})} d x$

解题步骤 1.3

从 $25 (\frac{3}{25}) + 25 (x^{2})$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25} + x^{2})} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{25}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{25}$ 移到积分外。

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\frac{3}{25} + x^{2}} d x$

解题步骤 3

将 $\frac{3}{25}$ 重写为 ${(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2}$ 。

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C$ 。

$\frac{1}{25} (\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ 。

$\frac{1}{25} (1 \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

解题步骤 5.1.2

将 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

解题步骤 5.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ 。

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (x \frac{5}{\sqrt{3}}) + C)$

解题步骤 5.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x \cdot 5}{\sqrt{3}}) + C)$

解题步骤 5.1.5

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{5 \cdot x}{\sqrt{3}}) + C)$

解题步骤 5.1.6

组合 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 和 $\arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})$ 。

$\frac{1}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{25} \cdot \frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C$ 。

$\frac{1}{25} \cdot \frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{1}{25}$ 乘以 $\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{25 \sqrt{3}} + C$

解题步骤 5.3.2

约去 $5$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3}))}{25 \sqrt{3}} + C$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $25 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3}))}{5 (5 \sqrt{3})} + C$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{5 (5 \sqrt{3})} + C$

解题步骤 5.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{5 \sqrt{3}} + C$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{1}{5 \sqrt{3}} \arctan (\frac{5 \sqrt{3}}{3} x) + C$

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