微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} + 16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} + 48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 x^{2} + 48 (2 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $48$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} + 96 x$ 。

$36 x^{2} + 96 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} + 96 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} + 96 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $36 x^{2} + 96 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x) + 96 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $96 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x) + 12 x (8) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $12 x (3 x) + 12 x (8)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x + 8) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 x + 8 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $3 x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $3 x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 8 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $3 x + 8 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$3 x = - 8$

解题步骤 2.5.2.2

将 $3 x = - 8$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $3 x = - 8$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 8}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{8}{3}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $12 x (3 x + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{8}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 16 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 3 \cdot 0 + 16 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 16 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 16 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $16$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{8}{3}$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- \frac{8}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 {(- \frac{8}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

对 $- \frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{8}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (1 (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $\frac{8^{4}}{3^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{8^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.4

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{81}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.6.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.3.2.1.7.1

对 $- \frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8}{3})}^{3})$

解题步骤 3.3.2.1.7.2

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{8^{3}}{3^{3}}))$

解题步骤 3.3.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{8^{3}}{3^{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.9

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{512}{3^{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{512}{27})$

解题步骤 3.3.2.1.11

乘以 $16 (- \frac{512}{27})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.11.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} - 16 (\frac{512}{27})$

解题步骤 3.3.2.1.11.2

组合 $- 16$ 和 $\frac{512}{27}$ 。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + \frac{- 16 \cdot 512}{27}$

解题步骤 3.3.2.1.11.3

将 $- 16$ 乘以 $512$ 。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + \frac{- 8192}{27}$

解题步骤 3.3.2.1.12

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} - \frac{8192}{27}$

解题步骤 3.3.2.2

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096 - 8192}{27}$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.2.2.1

从 $4096$ 中减去 $8192$ 。

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{- 4096}{27}$

解题步骤 3.3.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{8}{3}) = - \frac{4096}{27}$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- \frac{4096}{27}$ 。

$- \frac{4096}{27}$

解题步骤 3.4

通过将 $- \frac{8}{3}$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ 中求得的点为 $(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{8}{3}) \cup (- \frac{8}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{8}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.7\overline{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 36 {(- 2.7\overline{6})}^{2} + 96 (- 2.7\overline{6})$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.7\overline{6}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 36 \cdot 7.65\overline{4} + 96 (- 2.7\overline{6})$

解题步骤 5.2.1.2

将 $36$ 乘以 $7.65\overline{4}$ 。

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 275.56 + 96 (- 2.7\overline{6})$

解题步骤 5.2.1.3

将 $96$ 乘以 $- 2.7\overline{6}$ 。

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 275.56 - 265.6$

解题步骤 5.2.2

从 $275.56$ 中减去 $265.6$ 。

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 9.96$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $9.96$ 。

$9.96$

解题步骤 5.3

在 $- 2.7\overline{6}$ 处，二阶导数为 $9.96$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{8}{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{8}{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{8}{3}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.33333333$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.33333333) = 36 {(- 1.33333333)}^{2} + 96 (- 1.33333333)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.33333333$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.33333333) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.33333333)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $1.\overline{7}$ 。

$f'' (- 1.33333333) = 64 + 96 (- 1.33333333)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $96$ 乘以 $- 1.33333333$ 。

$f'' (- 1.33333333) = 64 - 128$

解题步骤 6.2.2

从 $64$ 中减去 $128$ 。

$f'' (- 1.33333333) = - 64$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 64$ 。

$- 64$

解题步骤 6.3

在 $- 1.33333333$ ，二阶导数为 $- 64$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \frac{8}{3}, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{8}{3}, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 96 (0.1)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 96 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = 0.36 + 96 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.3

将 $96$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = 0.36 + 9.6$

解题步骤 7.2.2

将 $0.36$ 和 $9.6$ 相加。

$f'' (0.1) = 9.96$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $9.96$ 。

$9.96$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $9.96$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27}), (0, 0)$ 。

$(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27}), (0, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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