微积分学示例

$x^{4} y^{7} + 4 x^{8} y^{6}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{4} y^{7} + 4 x^{8} y^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $y^{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{4} y^{7}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{7} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$y^{7} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$y^{7} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 移到 $y^{7}$ 的左侧。

$4 y^{7} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4 y^{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{8} y^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $4 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 。

$4 y^{7} x^{3} + 4 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$4 y^{7} x^{3} + 4 y^{6} (8 x^{7})$

解题步骤 1.3.3

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$4 y^{7} x^{3} + 32 y^{6} x^{7}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = 4 y^{7} x^{3} + 32 x^{7} y^{6}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 y^{7} x^{3} + 32 x^{7} y^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4 y^{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y^{7} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 y^{7} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 y^{7} x^{2} + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $32 y^{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 x^{7} y^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $32 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 。

$12 y^{7} x^{2} + 32 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$12 y^{7} x^{2} + 32 y^{6} (7 x^{6})$

解题步骤 2.3.3

将 $7$ 乘以 $32$ 。

$12 y^{7} x^{2} + 224 y^{6} x^{6}$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$f'' (x) = 12 y^{7} x^{2} + 224 x^{6} y^{6}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $12 y^{7} x^{2} + 224 x^{6} y^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $12 y^{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 y^{7} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 y^{7} (2 x) + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 y^{7} x + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $224 y^{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $224 x^{6} y^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $224 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$24 y^{7} x + 224 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$24 y^{7} x + 224 y^{6} (6 x^{5})$

解题步骤 3.3.3

将 $6$ 乘以 $224$ 。

$f''' (x) = 24 y^{7} x + 1344 y^{6} x^{5}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $24 y^{7} x + 1344 y^{6} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [24 y^{7} x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [24 y^{7} x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [24 y^{7} x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $24 y^{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 y^{7} x$ 对 $x$ 的导数是 $24 y^{7} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 y^{7} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 y^{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

解题步骤 4.2.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$24 y^{7} + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $1344 y^{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1344 y^{6} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $1344 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$24 y^{7} + 1344 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$24 y^{7} + 1344 y^{6} (5 x^{4})$

解题步骤 4.3.3

将 $5$ 乘以 $1344$ 。

$f^{4} (x) = 24 y^{7} + 6720 y^{6} x^{4}$

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