微积分学示例

$\sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (\frac{x}{2})$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2.3.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

合并分数。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- \frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{4} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

组合 $\cos (\frac{x}{2})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 3.3.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

合并分数。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{4}$ 。

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- \frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ 。

$- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$- \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 4.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \frac{1}{8} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 4.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{8} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{8}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 4.3.2

合并分数。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 4.3.2.2

组合 $\sin (\frac{x}{2})$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 4.3.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.4

合并分数。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8}$ 。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \cdot 1$

解题步骤 4.3.6

将 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$

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