微积分学示例

$y = 7 \cot (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

解题步骤 1.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$7 (- \csc^{2} (x))$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = - 7 \csc^{2} (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 \csc^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ 。

$- 7 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$- 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 7 (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 2.2.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 7 (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$- 14 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 2.4

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- 14 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 14$ 。

$14 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 2.6

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

解题步骤 2.7

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

解题步骤 2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$14 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

解题步骤 2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 14 \csc^{2} (x) \cot (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 \csc^{2} (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ 。

$14 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc^{2} (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$14 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 3.3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$14 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $\csc^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $\csc^{2} (x)$ 。

$14 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$14 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$14 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 移到 $\csc^{4} (x)$ 的左侧。

$14 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1 \csc^{4} (x)$ 重写为 $- \csc^{4} (x)$ 。

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

解题步骤 3.6.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

解题步骤 3.7

将 $2$ 移到 $\cot (x)$ 的左侧。

$14 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 3.8

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$14 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 3.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 3.10

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

解题步骤 3.11

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

解题步骤 3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

解题步骤 3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

解题步骤 3.14

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

解题步骤 3.15

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

解题步骤 3.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 3.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

解题步骤 3.18

化简。

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解题步骤 3.18.1

运用分配律。

$14 (- \csc^{4} (x)) + 14 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

解题步骤 3.18.2

合并项。

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解题步骤 3.18.2.1

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$- 14 \csc^{4} (x) + 14 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

解题步骤 3.18.2.2

将 $- 2$ 乘以 $14$ 。

$- 14 \csc^{4} (x) - 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 3.18.3

重新排序项。

$f''' (x) = - 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 14 \csc^{4} (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 14 \csc^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 28 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ 。

$- 28 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot^{2} (x)$ 且 $g (x) = \csc^{2} (x)$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)] + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (x)$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.4

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cot (x)$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.5.3

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.6

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.8

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.9

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 28 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.12

通过指数相加将 $\cot^{2} (x)$ 乘以 $\cot (x)$ 。

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解题步骤 4.2.12.1

移动 $\cot (x)$ 。

$- 28 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.12.2

将 $\cot (x)$ 乘以 $\cot^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.12.2.1

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 28 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.12.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.13

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.14

通过指数相加将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $\csc^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.14.1

移动 $\csc^{2} (x)$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + {\csc (x)}^{2 + 2} (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.2.14.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 14 \csc^{4} (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14 \csc^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 14 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\csc (x)$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (4 \csc^{3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 4.3.3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (4 \csc^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (- 4 \csc^{3} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 4.3.5

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (- 4 (\csc^{1} (x) \csc^{3} (x)) \cot (x))$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (- 4 {\csc (x)}^{1 + 3} \cot (x))$

解题步骤 4.3.7

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 14 (- 4 \csc^{4} (x) \cot (x))$

解题步骤 4.3.8

将 $- 4$ 乘以 $- 14$ 。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 56 \csc^{4} (x) \cot (x)$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$- 28 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 28 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 56 \csc^{4} (x) \cot (x)$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 28$ 。

$56 (\cot^{3} (x) (\csc^{2} (x))) - 28 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 56 \csc^{4} (x) \cot (x)$

解题步骤 4.4.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 28$ 。

$56 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 56 (\csc^{4} (x) (\cot (x))) + 56 \csc^{4} (x) \cot (x)$

解题步骤 4.4.2.3

将 $56 \csc^{4} (x) \cot (x)$ 和 $56 \csc^{4} (x) \cot (x)$ 相加。

$f^{4} (x) = 56 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 112 \csc^{4} (x) \cot (x)$

微积分学 示例

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