微积分学示例

$y = 2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$f' (x) = 2 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 1.3.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 1.3.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = 2 - 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$f' (x) = 2 + \frac{- 3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 1.3.10

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 2 + \frac{- 6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.3.12

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.3.13

约去公因数。

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解题步骤 1.3.13.1

从 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 1.3.13.2

约去公因数。

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.3.13.3

重写表达式。

$f' (x) = 2 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.3.14

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 2.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.9

化简分子。

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解题步骤 2.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

解题步骤 2.2.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

解题步骤 2.2.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.12

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.13.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.13.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.13.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

解题步骤 2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

解题步骤 2.2.16

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}})$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1})$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3} \cdot - 1})$

解题步骤 3.2.2.2

乘以 $\frac{4}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}})$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{3}})$

解题步骤 3.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{3}})$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{4}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}})$

解题步骤 3.7.2

从 $- 4$ 中减去 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}})$

解题步骤 3.9

组合 $x^{- \frac{7}{3}}$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3})$

解题步骤 3.10

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{2 (x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4)}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.11

乘。

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解题步骤 3.11.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.11.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{9}$

解题步骤 3.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{7}{3}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = - \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- \frac{8}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{3} \cdot - 1}$

解题步骤 4.2.2.2

乘以 $\frac{7}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

组合 $\frac{7}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{3}}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{3}}$

解题步骤 4.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{3}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{7}{3}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1})$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 3}{3}})$

解题步骤 4.7.2

从 $- 7$ 中减去 $3$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 10}{3}})$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{10}{3}})$

解题步骤 4.9

组合 $x^{- \frac{10}{3}}$ 和 $\frac{7}{3}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3})$

解题步骤 4.10

乘。

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解题步骤 4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = 1 (\frac{8}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

解题步骤 4.10.2

将 $\frac{8}{9}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{8}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

解题步骤 4.11

将 $\frac{8}{9}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{8 (x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7)}{9 \cdot 3}$

解题步骤 4.12

乘。

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解题步骤 4.12.1

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{9 \cdot 3}$

解题步骤 4.12.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{27}$

解题步骤 4.12.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{10}{3}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

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