微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3})$

解题步骤 1.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (3 x^{2})$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 (2 x)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$f''' (x) = 72 x$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $72 x$ 对 $x$ 的导数是 $72 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$72 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$72 \cdot 1$

解题步骤 4.3

将 $72$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 72$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $72$ 。

$72$

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