微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{4 - 7 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 4 - 7 x$ 。

$\frac{(4 - 7 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(4 - 7 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $4 - 7 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $4 - 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

$\frac{4 - 7 x - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 - 7 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 相加。

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [- 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 - 7 x - x (- 7 \frac{d}{d x} [x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 - 7 x + 7 x \frac{d}{d x} [x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 - 7 x + 7 x \cdot 1}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 - 7 x + 7 x}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9.2

将 $- 7 x$ 和 $7 x$ 相加。

$\frac{4 + 0}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9.3

化简表达式。

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解题步骤 1.2.9.3.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9.3.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ 重写为 ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 2}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = - 7 x + 4$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 7 x + 4$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 2.2.3

使用 $- 7 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- 2 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 8 ({(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $- 7 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.3.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + 0)$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- 7$ 和 $0$ 相加。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \cdot - 7$

解题步骤 2.3.7.2

将 $- 7$ 乘以 $- 8$ 。

$56 {(- 7 x + 4)}^{- 3}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$56 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 2.4.2

组合 $56$ 和 $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $56$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$ 。

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$

解题步骤 3.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ 重写为 ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ 。

$56 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 3}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = - 7 x + 4$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 7 x + 4$ 。

$56 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$56 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 3.2.3

使用 $- 7 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$56 (- 3 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 3$ 乘以 $56$ 。

$- 168 ({(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $- 7 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.3.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + 0)$

解题步骤 3.3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $- 7$ 和 $0$ 相加。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \cdot - 7$

解题步骤 3.3.7.2

将 $- 7$ 乘以 $- 168$ 。

$1176 {(- 7 x + 4)}^{- 4}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1176 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

解题步骤 3.4.2

组合 $1176$ 和 $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ 。

$f''' (x) = \frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

因为 $1176$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$ 。

$1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ 重写为 ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ 。

$1176 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 4}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 4}$ 且 $g (x) = - 7 x + 4$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 7 x + 4$ 。

$1176 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$1176 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 4.2.3

使用 $- 7 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1176 (- 4 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 4$ 乘以 $1176$ 。

$- 4704 ({(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $- 7 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.3.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.3.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + 0)$

解题步骤 4.3.7

化简表达式。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $- 7$ 和 $0$ 相加。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \cdot - 7$

解题步骤 4.3.7.2

将 $- 7$ 乘以 $- 4704$ 。

$32928 {(- 7 x + 4)}^{- 5}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$32928 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

解题步骤 4.4.2

组合 $32928$ 和 $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ 。

$\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

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