微积分学示例

$f (x) = \sqrt[15]{7 x + 5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[15]{7 x + 5}$ 重写成 ${(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}})$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{15}}$ 且 $g (x) = 7 x + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x + 5$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{15}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15} u^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.2.3

使用 $7 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $15$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{15}$ 和 ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $7 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 1.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 1.11

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 1.12

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 + 0)$

解题步骤 1.13

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.13.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot 7$

解题步骤 1.13.2

组合 $\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ 和 $7$ 。

$f' (x) = \frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

因为 $\frac{7}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{7}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}})$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ 重写为 ${({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1})$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15} \cdot - 1})$

解题步骤 2.1.2.2.2

乘以 $\frac{14}{15} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.2.2.1

组合 $\frac{14}{15}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{14 \cdot - 1}{15}})$

解题步骤 2.1.2.2.2.2

将 $14$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}})$

解题步骤 2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{14}{15}}$ 且 $g (x) = 7 x + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x + 5$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{14}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{14}{15}$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} u^{- \frac{14}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.2.3

使用 $7 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.6.2

从 $- 14$ 中减去 $15$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.7.2

组合 ${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ 和 $\frac{14}{15}$ 。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}} \cdot 14}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.7.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.3.1

将 $14$ 移到 ${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 2.7.4

将 $\frac{7}{15}$ 乘以 $\frac{14}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{7 \cdot 14}{15 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 2.7.5

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.5.1

将 $7$ 乘以 $14$ 。

$f'' (x) = - \frac{98}{15 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 2.7.5.2

将 $15$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $7 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 2.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 2.11

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 2.12

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 + 0)$

解题步骤 2.13

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot 7$

解题步骤 2.13.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 7 \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

解题步骤 2.13.3

组合 $- 7$ 和 $\frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 7 \cdot 98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

解题步骤 2.13.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.4.1

将 $- 7$ 乘以 $98$ 。

$f'' (x) = \frac{- 686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

解题步骤 2.13.4.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

因为 $- \frac{686}{225}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{686}{225} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}]$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

解题步骤 3.1.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

将 $\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ 重写为 ${({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15} \cdot - 1}$

解题步骤 3.1.2.2.2

乘以 $\frac{29}{15} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.2.2.1

组合 $\frac{29}{15}$ 和 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{29 \cdot - 1}{15}}$

解题步骤 3.1.2.2.2.2

将 $29$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{- 29}{15}}$

解题步骤 3.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{29}{15}}$ 且 $g (x) = 7 x + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x + 5$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{29}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{29}{15}$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} u^{- \frac{29}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.2.3

使用 $7 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.6.2

从 $- 29$ 中减去 $15$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.7.2

组合 ${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ 和 $\frac{29}{15}$ 。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}} \cdot 29}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.7.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.3.1

将 $29$ 移到 ${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ 的左侧。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 1 (\frac{686}{225}) \cdot (\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.7.3.4

将 $\frac{686}{225}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{686}{225} \cdot (\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 3.7.4

将 $\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ 乘以 $\frac{686}{225}$ 。

$f''' (x) = \frac{29 \cdot 686}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}} \cdot 225} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 3.7.5

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.5.1

将 $29$ 乘以 $686$ 。

$f''' (x) = \frac{19894}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}} \cdot 225} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 3.7.5.2

将 $225$ 乘以 $15$ 。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $7 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 3.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 3.11

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 3.12

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 + 0)$

解题步骤 3.13

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.13.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot 7$

解题步骤 3.13.2

组合 $\frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ 和 $7$ 。

$f''' (x) = \frac{19894 \cdot 7}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$

解题步骤 3.13.3

将 $19894$ 乘以 $7$ 。

$f''' (x) = \frac{139258}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

因为 $\frac{139258}{3375}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{139258}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{139258}{3375} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}})$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ 重写为 ${({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1})$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15} \cdot - 1})$

解题步骤 4.1.2.2.2

乘以 $\frac{44}{15} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.2.1

组合 $\frac{44}{15}$ 和 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{44 \cdot - 1}{15}})$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

将 $44$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{- 44}{15}})$

解题步骤 4.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}})$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{44}{15}}$ 且 $g (x) = 7 x + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x + 5$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{44}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{44}{15}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} u^{- \frac{44}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.2.3

使用 $7 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.6.2

从 $- 44$ 中减去 $15$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 59}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.7.2

组合 ${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ 和 $\frac{44}{15}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}} \cdot 44}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.7.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.3.1

将 $44$ 移到 ${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

解题步骤 4.7.4

将 $\frac{139258}{3375}$ 乘以 $\frac{44}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{139258 \cdot 44}{3375 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 4.7.5

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.5.1

将 $139258$ 乘以 $44$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{3375 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 4.7.5.2

将 $15$ 乘以 $3375$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $7 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 4.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 4.11

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 4.12

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 + 0)$

解题步骤 4.13

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.13.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot 7$

解题步骤 4.13.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 7 \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

解题步骤 4.13.3

组合 $- 7$ 和 $\frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 7 \cdot 6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

解题步骤 4.13.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.13.4.1

将 $- 7$ 乘以 $6127352$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

解题步骤 4.13.4.2

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ 。

$- \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

微积分学 示例

微积分学示例