微积分学示例

$f (x) = \frac{\ln (x)}{11 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{11}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\ln (x)}{11 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.4

合并分数。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.4.2

将 $\frac{1}{11}$ 乘以 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{11}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1 - \ln (x)}{11 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $1 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.5.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2.3

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2.4

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2

从 $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.5.4.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2.2

从 $- 2 (1 - \ln (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2.3

从 $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

解题步骤 2.7

将 $\frac{1}{11}$ 乘以 $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8.2

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8.2.1.2

乘以 $- 2 (- \ln (x))$ 。

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解题步骤 2.8.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8.2.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8.3

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8.4

从 $\ln (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8.5

从 $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{11 x^{3}}$

解题步骤 2.8.6

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{11}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{11 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 - \ln (x^{2})$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 - \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $3 - \ln (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.5.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.5.2

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1

乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去公因数。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.5.2.2.3

重写表达式。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.5.2.2.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.5.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 (x \cdot x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 3.11

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.11.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.11.2

从 $- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.2.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 3.11.2.2

从 $- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

解题步骤 3.11.2.3

从 $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

解题步骤 3.12

约去公因数。

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解题步骤 3.12.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.12.2

约去公因数。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.12.3

重写表达式。

$f''' (x) = - \frac{1}{11} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

解题步骤 3.13

将 $\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ 乘以 $\frac{1}{11}$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 11}$

解题步骤 3.14

将 $11$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{11 \cdot x^{4}}$

解题步骤 3.15

化简。

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解题步骤 3.15.1

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.2

化简分子。

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解题步骤 3.15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.15.2.1.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.2.1.2

乘以 $- 3 (- \ln (x^{2}))$ 。

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解题步骤 3.15.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.2.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x^{2})$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.2.1.3

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.15.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.2.2

从 $- 2$ 中减去 $9$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.3

将 $- 11$ 重写为 $- 1 (11)$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 + \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.4

从 $\ln (x^{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.5

从 $- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.6

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

解题步骤 3.15.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 1 (\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}})$

解题步骤 3.15.8

将 $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{1}{11}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{11 - \ln (x^{6})}{11 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}})$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 11 - \ln (x^{6})$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (11 - \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $11 - \ln (x^{6})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (11) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.3.3

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x^{6})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{6})) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{6}$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{6}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.4.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.4.3

使用 $x^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{6}))) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.5.1

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{x^{6}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.2

约去 $x^{4}$ 和 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1

乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.2.2.2

约去公因数。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.2.2.3

重写表达式。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{6} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \cdot (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.4

化简项。

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解题步骤 4.5.4.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.4.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} \cdot x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.4.3

组合 $\frac{- 6}{x^{2}}$ 和 $x^{5}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.4.4

约去 $x^{5}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.4.1

从 $- 6 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.4.4.2.1

乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.4.4.2.2

约去公因数。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.4.4.2.3

重写表达式。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.4.4.2.4

用 $- 6 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.6

合并分数。

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解题步骤 4.5.6.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1}{11} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 4.5.6.2

将 $\frac{1}{11}$ 乘以 $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot (11 x^{3}) - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.6.3.1.1

将 $- 4$ 乘以 $11$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.3.1.2

乘以 $- 4 (- \ln (x^{6}))$ 。

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解题步骤 4.6.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.3.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (x^{6})$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.3.1.3

将 ${(x^{6})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.3.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.3.1.3.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.3.2

从 $- 6 x^{3}$ 中减去 $44 x^{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.3.3

将 $- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ 中的因式重新排序。

$f^{4} (x) = \frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.4

从 $- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.6.4.1

从 $- 50 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.4.2

从 $x^{3} \ln (x^{24})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.4.3

从 $x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.5

通过将 $24$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{24})$ 。

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{11 x^{8}}$

解题步骤 4.6.6

约去公因数。

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解题步骤 4.6.6.1

从 $11 x^{8}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

解题步骤 4.6.6.2

约去公因数。

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (11 x^{5})}$

解题步骤 4.6.6.3

重写表达式。

$f^{4} (x) = \frac{- 50 + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

解题步骤 4.6.7

从 $- 50 + 24 \ln (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.6.7.1

从 $- 50$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{11 x^{5}}$

解题步骤 4.6.7.2

从 $24 \ln (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

解题步骤 4.6.7.3

从 $2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

解题步骤 4.6.8

将 $- 25$ 重写为 $- 1 (25)$ 。

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 + 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

解题步骤 4.6.9

从 $12 \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 \cdot 25 - (- 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

解题步骤 4.6.10

从 $- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 1 (25 - 12 \ln (x)))}{11 x^{5}}$

解题步骤 4.6.11

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$ 。

$- \frac{2 (25 - 12 \ln (x))}{11 x^{5}}$

微积分学 示例

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