微积分学示例

$f (x) = e^{x} \ln (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.3

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x}$

解题步骤 1.5

重新排序项。

$f' (x) = e^{x} \ln (x) + \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $e^{x} \ln (x) + \frac{e^{x}}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

解题步骤 2.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

解题步骤 2.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

解题步骤 2.2.4

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x} + \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x} + \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x} + \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x} + \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

合并项。

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解题步骤 2.4.1.1

重新排序项。

$\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x} + \frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.2

要将 $\frac{e^{x}}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\ln (x) e^{x} + \frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 2.4.1.3.1

将 $\frac{e^{x}}{x}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\ln (x) e^{x} + \frac{e^{x} x}{x \cdot x} + \frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (x) e^{x} + \frac{e^{x} x}{x^{2}} + \frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.4

在公分母上合并分子。

$\ln (x) e^{x} + \frac{e^{x} x + e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.5

将 $e^{x} x$ 和 $e^{x} x$ 相加。

$\ln (x) e^{x} + \frac{2 e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.6

要将 $\ln (x) e^{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{\ln (x) e^{x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (x) e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$\frac{e^{x} x^{2} \ln (x) + 2 e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{e^{x} x^{2} \ln (x) + 2 e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}] - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}] - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}] - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5

化简项。

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解题步骤 3.5.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{x^{2}}{x} e^{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $\frac{x^{2}}{x}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{x^{2} e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1

从 $x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{x (x e^{x})}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} (\frac{x (x e^{x})}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{x (x e^{x})}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3.2.3

约去公因数。

解题步骤 3.5.3.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{2} (\frac{x e^{x}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3.2.5

用 $x e^{x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.8

求微分。

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解题步骤 3.8.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.8.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.9

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.10

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.11

求微分。

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解题步骤 3.11.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.11.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.11.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.12

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.13

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.13.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 3.13.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.13.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) x}{x^{4}}$

解题步骤 3.13.2.2

从 $x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.13.2.2.1

从 $x^{2} (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x})) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) x}{x^{4}}$

解题步骤 3.13.2.2.2

从 $- 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x})) + x (- 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}))}{x^{4}}$

解题步骤 3.13.2.2.3

从 $x (x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x})) + x (- 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}))}{x^{4}}$

解题步骤 3.14

约去公因数。

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解题步骤 3.14.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.14.2

约去公因数。

$\frac{x (x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x}))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.14.3

重写表达式。

$\frac{x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15

化简。

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解题步骤 3.15.1

运用分配律。

$\frac{x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x}) + \ln (x) (e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x} + e^{x}) - e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.2

运用分配律。

$\frac{x (x e^{x} + \ln (x) (x^{2} e^{x}) + \ln (x) (e^{x} (2 x)) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x} - e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.3

运用分配律。

$\frac{x (x e^{x}) + x (\ln (x) (x^{2} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (2 x))) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x) + 2 x e^{x} - e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.4

运用分配律。

$\frac{x (x e^{x}) + x (\ln (x) (x^{2} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (2 x))) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5

化简分子。

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解题步骤 3.15.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.15.5.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.15.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x e^{x} + x (\ln (x) (x^{2} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (2 x))) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x (\ln (x) (x^{2} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (2 x))) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.15.5.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{2} x (\ln (x) (e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (2 x))) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.15.5.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{2} x^{1} (\ln (x) (e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (2 x))) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{2 + 1} (\ln (x) (e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (2 x))) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (2 x))) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + 2 x (\ln (x) e^{x} x) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.15.5.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + 2 (x \cdot x) (\ln (x) e^{x}) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + 2 x^{2} (\ln (x) e^{x}) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + x (2 (x e^{x})) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x (x e^{x}) + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.15.5.1.7.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 (x \cdot x) e^{x} + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x^{2} e^{x} + x (2 e^{x}) + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + x (- e^{x}) - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - 2 (x^{2} e^{x} \ln (x)) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} + x^{2} e^{x} (- \ln (x^{2})) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.11

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - x^{2} e^{x} \ln (x^{2}) - 2 (2 x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.12

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - x^{2} e^{x} \ln (x^{2}) - 4 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.1.13

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - x^{2} e^{x} \ln (x^{2}) - 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.2

合并 $x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x}) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - x^{2} e^{x} \ln (x^{2}) - 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.15.5.2.1

按照 $x^{2} (\ln (x^{2}) e^{x})$ 和 $- x^{2} e^{x} \ln (x^{2})$ 重新排列因数。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + e^{x} x^{2} \ln (x^{2}) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - e^{x} x^{2} \ln (x^{2}) - 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.2.2

从 $e^{x} x^{2} \ln (x^{2})$ 中减去 $e^{x} x^{2} \ln (x^{2})$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} + 0 - 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.2.3

将 $x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.3

将 $x^{2} e^{x}$ 和 $2 x^{2} e^{x}$ 相加。

$\frac{3 x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + 2 x e^{x} - x e^{x} - 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.4

从 $2 x e^{x}$ 中减去 $x e^{x}$ 。

$\frac{3 x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + 1 x e^{x} - 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{2} e^{x} + x^{3} (\ln (x) (e^{x})) + x e^{x} - 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.5.6

从 $x e^{x}$ 中减去 $4 x e^{x}$ 。

$\frac{3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.6

重新排序项。

$\frac{3 e^{x} x^{2} + e^{x} x^{3} \ln (x) - 3 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3.15.7

将 $\frac{3 e^{x} x^{2} + e^{x} x^{3} \ln (x) - 3 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ 中的因式重新排序。

$f''' (x) = \frac{3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}] - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 4.2

求微分。

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解题步骤 4.2.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}] - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}] - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.2

根据加法法则， $3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3} e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{3} e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.7

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{3} e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.8

化简项。

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解题步骤 4.8.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{x^{3}}{x} e^{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.8.2

组合 $\frac{x^{3}}{x}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{x^{3} e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.8.3

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.3.1

从 $x^{3} e^{x}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{x (x^{2} e^{x})}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.8.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{x (x^{2} e^{x})}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.8.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{x (x^{2} e^{x})}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.8.3.2.3

约去公因数。

解题步骤 4.8.3.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{x^{2} e^{x}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.8.3.2.5

用 $x^{2} e^{x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.9

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.10

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.11

求微分。

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解题步骤 4.11.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.11.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.12

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.13

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.14

求微分。

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解题步骤 4.14.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.14.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.14.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.15

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4.16

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.16.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

解题步骤 4.16.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.16.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 4.16.2.2

从 $x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.16.2.2.1

从 $x^{3} (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 4.16.2.2.2

从 $- 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) + x^{2} (- 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{6}}$

解题步骤 4.16.2.2.3

从 $x^{2} (x (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) + x^{2} (- 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{6}}$

解题步骤 4.17

约去公因数。

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解题步骤 4.17.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

解题步骤 4.17.2

约去公因数。

解题步骤 4.17.3

重写表达式。

$\frac{x (3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18

化简。

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解题步骤 4.18.1

运用分配律。

$\frac{x (3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.2

运用分配律。

$\frac{x (3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x}) + \ln (x) (e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.3

运用分配律。

$\frac{x (3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x)) + x^{2} e^{x} + \ln (x) (x^{3} e^{x}) + \ln (x) (e^{x} (3 x^{2})) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} + 2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.4

运用分配律。

$\frac{x (3 (x^{2} e^{x})) + x (3 (e^{x} (2 x))) + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} \ln (x) - 3 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.5

运用分配律。

$\frac{x (3 (x^{2} e^{x})) + x (3 (e^{x} (2 x))) + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6

化简分子。

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解题步骤 4.18.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.18.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x (x^{2} e^{x}) + x (3 (e^{x} (2 x))) + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x) e^{x} + x (3 (e^{x} (2 x))) + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) e^{x} + x (3 (e^{x} (2 x))) + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 1} e^{x} + x (3 (e^{x} (2 x))) + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + x (3 (e^{x} (2 x))) + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 3 \cdot 2 x (e^{x} x) + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) e^{x} + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 3 \cdot 2 x^{2} e^{x} + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x (x^{2} e^{x}) + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{2} x e^{x} + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{2} x^{1} e^{x} + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{2 + 1} e^{x} + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x (\ln (x) (x^{3} e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{3} x (\ln (x) (e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.7.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{3} x^{1} (\ln (x) (e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{3 + 1} (\ln (x) (e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.7.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x (\ln (x) (e^{x} (3 x^{2}))) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + 3 x (\ln (x) e^{x} x^{2}) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.9.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + 3 (x^{2} x) (\ln (x) e^{x}) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.9.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + 3 (x^{2} x^{1}) (\ln (x) e^{x}) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + 3 x^{2 + 1} (\ln (x) e^{x}) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + 3 x^{3} (\ln (x) e^{x}) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x)$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) + x (- 3 (x e^{x})) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.11

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.12

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.18.6.1.12.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 (x \cdot x) e^{x} + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.12.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} + x (- 3 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.13

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + x (2 e^{x}) - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.14

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 3 (3 x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.15

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 (x^{2} e^{x}) - 3 (x^{3} e^{x} \ln (x)) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.16

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (x)$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} (- \ln (x^{3})) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.17

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} - x^{3} e^{x} \ln (x^{3}) - 3 (- 3 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.18

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} - x^{3} e^{x} \ln (x^{3}) + 9 (x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.1.19

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} - x^{3} e^{x} \ln (x^{3}) + 9 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.2

合并 $3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} - x^{3} e^{x} \ln (x^{3}) + 9 x e^{x} - 6 e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.18.6.2.1

按照 $x^{3} (\ln (x^{3}) e^{x})$ 和 $- x^{3} e^{x} \ln (x^{3})$ 重新排列因数。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3}) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} - e^{x} x^{3} \ln (x^{3}) + 9 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.2.2

从 $e^{x} x^{3} \ln (x^{3})$ 中减去 $e^{x} x^{3} \ln (x^{3})$ 。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} + 0 + 9 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.2.3

将 $3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.3

将 $3 x^{3} e^{x}$ 和 $x^{3} e^{x}$ 相加。

$\frac{4 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) - 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.4

从 $6 x^{2} e^{x}$ 中减去 $3 x^{2} e^{x}$ 。

$\frac{4 x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.5

从 $3 x^{2} e^{x}$ 中减去 $9 x^{2} e^{x}$ 。

$\frac{4 x^{3} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) - 3 x e^{x} + 2 x e^{x} + 9 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.6

将 $- 3 x e^{x}$ 和 $2 x e^{x}$ 相加。

$\frac{4 x^{3} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x^{4} (\ln (x) (e^{x})) - x e^{x} + 9 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.6.7

将 $- x e^{x}$ 和 $9 x e^{x}$ 相加。

$\frac{4 x^{3} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x) + 8 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.7

重新排序项。

$\frac{4 e^{x} x^{3} - 6 e^{x} x^{2} + e^{x} x^{4} \ln (x) + 8 e^{x} x - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 4.18.8

将 $\frac{4 e^{x} x^{3} - 6 e^{x} x^{2} + e^{x} x^{4} \ln (x) + 8 e^{x} x - 6 e^{x}}{x^{4}}$ 中的因式重新排序。

$f^{4} (x) = \frac{4 x^{3} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x) + 8 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $\frac{4 x^{3} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x) + 8 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$ 。

$\frac{4 x^{3} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x) + 8 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

微积分学 示例

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