微积分学示例

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.3.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.3.2.2.3

约去公因数。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.3.2.2.4

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.3.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

解题步骤 1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x \ln (x) + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.6.2

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 \ln (x) + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{2}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.5.2

合并项。

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解题步骤 4.5.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{2}{x^{2}}$ 。

$- \frac{2}{x^{2}}$

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