微积分学示例

$f (x) = {(x^{2} + 7)}^{7}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = x^{2} + 7$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 7$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (7))$

解题步骤 1.2.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x)$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$

解题步骤 1.2.4.3

重新排序 $14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$ 的因式。

$f' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$ 。

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{6})$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{6}$ 。

$f'' (x) = 14 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{6}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = x^{2} + 7$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 7$ 。

$f'' (x) = 14 (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f'' (x) = 14 (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 14 (x (12 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 14 (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 ${(x^{2} + 7)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

解题步骤 2.11.2

将 $12$ 乘以 $14$ 。

$f'' (x) = 168 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

解题步骤 2.11.3

从 $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5} + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ 中分解出因数 $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ 。

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解题步骤 2.11.3.1

从 $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5}$ 中分解出因数 $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ 。

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

解题步骤 2.11.3.2

从 $14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ 中分解出因数 $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ 。

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$

解题步骤 2.11.3.3

从 $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$ 中分解出因数 $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ 。

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2} + x^{2} + 7)$

解题步骤 2.11.4

将 $12 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)]$ 。

$f''' (x) = 14 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7))$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x^{2} + 7)}^{5}$ 且 $g (x) = 13 x^{2} + 7$ 。

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (13 x^{2} + 7) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $13 x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (13 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

解题步骤 3.3.2

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $13$ 。

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

解题步骤 3.3.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + 0) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $26 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

解题步骤 3.3.6.2

将 $26$ 移到 ${(x^{2} + 7)}^{5}$ 的左侧。

$f''' (x) = 14 (26 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{2} + 7$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 7$ 。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

将 $5$ 移到 $13 x^{2} + 7$ 的左侧。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 \cdot ((13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))$

解题步骤 3.5.2

根据加法法则， $x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)))$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} (7)))$

解题步骤 3.5.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + 0))$

解题步骤 3.5.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x))$

解题步骤 3.5.5.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 10 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

解题步骤 3.6.3

将 $26$ 乘以 $14$ 。

$f''' (x) = 364 ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

解题步骤 3.6.4

将 $13$ 乘以 $10$ 。

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

解题步骤 3.6.5

将 $10$ 乘以 $7$ 。

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

解题步骤 3.6.6

从 $364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 中分解出因数 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 。

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解题步骤 3.6.6.1

从 $364 {(x^{2} + 7)}^{5} x$ 中分解出因数 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 。

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$

解题步骤 3.6.6.2

从 $14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 中分解出因数 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 。

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$

解题步骤 3.6.6.3

从 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$ 中分解出因数 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ 。

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

解题步骤 3.6.7

重新排序 $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$ 的因式。

$f''' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 26 \cdot 7 + 130 x^{2} + 70))$

解题步骤 4.1.1.2

将 $26$ 乘以 $7$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 182 + 130 x^{2} + 70))$

解题步骤 4.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $26 x^{2}$ 和 $130 x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 182 + 70))$

解题步骤 4.1.2.2

将 $182$ 和 $70$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

解题步骤 4.1.3

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)]$ 。

$f^{4} (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x {(x^{2} + 7)}^{4}$ 且 $g (x) = 156 x^{2} + 252$ 。

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (156 x^{2} + 252) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

根据加法法则， $156 x^{2} + 252$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [156 x^{2}] + \frac{d}{d x} [252]$ 。

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (156 x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.3.2

因为 $156$ 对于 $x$ 是常数，所以 $156 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $156 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 (2 x) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.3.4

将 $2$ 乘以 $156$ 。

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.3.5

因为 $252$ 对于 $x$ 是常数，所以 $252$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + 0) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.3.6

将 $312 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 14 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.7

化简表达式。

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解题步骤 4.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = 14 (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.7.2

将 $312$ 移到 $x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = 14 (312 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 4.8

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{4}$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} + 7$ 。

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解题步骤 4.9.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 7$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.9.3

使用 $x^{2} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10

求微分。

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解题步骤 4.10.1

根据加法法则， $x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10.4

化简表达式。

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解题步骤 4.10.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (8 {(x^{2} + 7)}^{3} x) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 1))$

解题步骤 4.16

将 ${(x^{2} + 7)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$ 。

$14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$

微积分学 示例

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