微积分学示例

$f (x) = {(8 x + 9)}^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 8 x + 9$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x + 9$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

解题步骤 1.1.3

使用 $8 x + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(8 x + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $8 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$4 {(8 x + 9)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 1.2.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 1.2.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 1.2.5

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 + 0)$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$4 {(8 x + 9)}^{3} \cdot 8$

解题步骤 1.2.6.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 32 {(8 x + 9)}^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 {(8 x + 9)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 9)}^{3}]$ 。

$32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 9)}^{3}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 8 x + 9$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x + 9$ 。

$32 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$32 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

解题步骤 2.2.3

使用 $8 x + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$32 (3 {(8 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$96 ({(8 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $8 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$96 {(8 x + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.3.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.3.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 2.3.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 + 0)$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$96 {(8 x + 9)}^{2} \cdot 8$

解题步骤 2.3.7.2

将 $8$ 乘以 $96$ 。

$f'' (x) = 768 {(8 x + 9)}^{2}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

将 ${(8 x + 9)}^{2}$ 重写为 $(8 x + 9) (8 x + 9)$ 。

$\frac{d}{d x} [768 ((8 x + 9) (8 x + 9))]$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(8 x + 9) (8 x + 9)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x + 9) + 9 (8 x + 9))]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x + 9))]$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

解题步骤 3.3.1.3

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

解题步骤 3.3.1.4

将 $9$ 乘以 $8$ 。

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

解题步骤 3.3.1.5

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 72 x + 9 \cdot 9)]$

解题步骤 3.3.1.6

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 72 x + 81)]$

解题步骤 3.3.2

将 $72 x$ 和 $72 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 144 x + 81)]$

解题步骤 3.4

因为 $768$ 对于 $x$ 是常数，所以 $768 (64 x^{2} + 144 x + 81)$ 对 $x$ 的导数是 $768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 144 x + 81]$ 。

$768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 144 x + 81]$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $64 x^{2} + 144 x + 81$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81]$ 。

$768 (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

解题步骤 3.6

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$768 (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$768 (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$768 (128 x + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

解题步骤 3.9

因为 $144$ 对于 $x$ 是常数，所以 $144 x$ 对 $x$ 的导数是 $144 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$768 (128 x + 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81])$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$768 (128 x + 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81])$

解题步骤 3.11

将 $144$ 乘以 $1$ 。

$768 (128 x + 144 + \frac{d}{d x} [81])$

解题步骤 3.12

因为 $81$ 对于 $x$ 是常数，所以 $81$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$768 (128 x + 144 + 0)$

解题步骤 3.13

将 $128 x + 144$ 和 $0$ 相加。

$768 (128 x + 144)$

解题步骤 3.14

化简。

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解题步骤 3.14.1

运用分配律。

$768 (128 x) + 768 \cdot 144$

解题步骤 3.14.2

合并项。

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解题步骤 3.14.2.1

将 $128$ 乘以 $768$ 。

$98304 x + 768 \cdot 144$

解题步骤 3.14.2.2

将 $768$ 乘以 $144$ 。

$f''' (x) = 98304 x + 110592$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $98304 x + 110592$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [110592]$ 。

$\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [110592]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [98304 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $98304$ 对于 $x$ 是常数，所以 $98304 x$ 对 $x$ 的导数是 $98304 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$98304 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110592]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$98304 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110592]$

解题步骤 4.2.3

将 $98304$ 乘以 $1$ 。

$98304 + \frac{d}{d x} [110592]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $110592$ 对于 $x$ 是常数，所以 $110592$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$98304 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $98304$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 98304$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $98304$ 。

$98304$

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