微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{2 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2} + 16}{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 16}{x}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 16$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.9

合并分数。

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解题步骤 1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

解题步骤 1.9.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{2 x^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{2 x^{2}}$

解题步骤 1.10.2

化简分子。

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解题步骤 1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

解题步骤 1.10.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 16}{2 x^{2}}$

解题步骤 1.10.3

化简分子。

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解题步骤 1.10.3.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2}}$

解题步骤 1.10.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x + 4) (x - 4)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)] - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 4$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} ((x + 4) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $x + 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.5

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) (1 + 0)) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.5.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + (x - 4) \cdot 1) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8.2

将 $x - 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (x + 4 + x - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 4 - 4) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.5.8.4.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 4) (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 4) (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.9

合并分数。

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解题步骤 2.9.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.9.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{x^{4}}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 4) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2

化简分子。

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解题步骤 2.10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 8) (x - 4) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - 8) (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.10.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 4) - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 (x - 4)) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.10.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.1.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.2.1.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot - 4) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.1.3

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8 x - 8 x + 32) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.2

从 $8 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 32) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.3

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 32) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.4

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 32 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.2.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 32 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 32 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.2

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{0 + 32 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.3

将 $0$ 和 $32 x$ 相加。

$\frac{32 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.3

合并项。

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解题步骤 2.10.3.1

约去 $32$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.3.1.1

从 $32 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.3.1.2.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (16 x)}{2 (x^{4})}$

解题步骤 2.10.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (16 x)}{2 x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{16 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.2

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.3.2.1

从 $16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 16}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.3.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot 16}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.2.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{16}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$16 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 3.4

将 $- 3$ 乘以 $16$ 。

$- 48 x^{- 4}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 48 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.5.2.1

组合 $- 48$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{- 48}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{48}{x^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{48}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$- 48 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 48 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- 48 (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 4.4

将 $- 4$ 乘以 $- 48$ 。

$192 x^{- 5}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$192 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 4.5.2

组合 $192$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{192}{x^{5}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $\frac{192}{x^{5}}$ 。

$\frac{192}{x^{5}}$

微积分学 示例

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