微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.2.5.2.4

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 x^{2} + 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x + 12 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 12 x + 12$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $12 x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 4.2.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 12$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $12$ 。

$12$

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