微积分学示例

$f (x) = \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 1.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 2.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.13

化简。

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解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.13.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.2.5

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 3.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

重新排序 $4 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 3.4.2

将 $4 \cos (x) \sin (x)$ 和 $4 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$f''' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 4.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 4.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 4.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 4.8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 4.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 4.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

解题步骤 4.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 4.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

解题步骤 4.13

化简。

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解题步骤 4.13.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) + 8 (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 4.13.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$ 。

$8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

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