微积分学示例

$\int - 24 x^{5} - 4 x + 15 x^{- 4} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 24 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 15 x^{- 4} d x$

解题步骤 2

由于 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 24$ 移到积分外。

$- 24 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 15 x^{- 4} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$- 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 4 x d x + \int 15 x^{- 4} d x$

解题步骤 4

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$- 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 4 \int x d x + \int 15 x^{- 4} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{- 4} d x$

解题步骤 6

由于 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $15$ 移到积分外。

$- 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{- 4} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$- 24 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$- 24 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 8.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 24 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 8.1.3

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 24 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 8.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- 24 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

解题步骤 8.2

化简。

$- 4 x^{6} - 2 x^{2} + 15 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$- 4 x^{6} - 2 x^{2} - 15 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 8.3.2

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$- 4 x^{6} - 2 x^{2} + \frac{- 15}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 8.3.3

约去 $- 15$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1

从 $- 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 4 x^{6} - 2 x^{2} + \frac{3 \cdot - 5}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 8.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.3.2.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 4 x^{6} - 2 x^{2} + \frac{3 \cdot - 5}{3 (x^{3})} + C$

解题步骤 8.3.3.2.2

约去公因数。

$- 4 x^{6} - 2 x^{2} + \frac{3 \cdot - 5}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 8.3.3.2.3

重写表达式。

$- 4 x^{6} - 2 x^{2} + \frac{- 5}{x^{3}} + C$

解题步骤 8.3.4

将负号移到分数的前面。

$- 4 x^{6} - 2 x^{2} - \frac{5}{x^{3}} + C$

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