微积分学示例

$\int 15 x \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 15 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\int 15 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

由于 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $15$ 移到积分外。

$15 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$15 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $15$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{15 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$\frac{30}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.3

约去 $30$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 6}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.3.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6 x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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