微积分学示例

$\int x^{4} - 3 \sqrt{x} + x^{- \frac{5}{4}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int - 3 \sqrt{x} d x + \int x^{- \frac{5}{4}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 \sqrt{x} d x + \int x^{- \frac{5}{4}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int \sqrt{x} d x + \int x^{- \frac{5}{4}} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{5}{4}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{- \frac{5}{4}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- \frac{5}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 4 x^{- \frac{1}{4}}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 4 x^{- \frac{1}{4}} + C$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 4 x^{- \frac{1}{4}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

$\frac{x^{5}}{5} - 2 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{4}} + C$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{4}} + C$

微积分学 示例