微积分学示例

$\int x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 \int x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{- 2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - x^{- 1} + C$

解题步骤 7

化简。

$\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - x^{- 1} + C$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} - x^{- 1} + C$

微积分学 示例