微积分学示例

$\int (1 + x^{2}) (2 - x) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int 1 (2 - x) + x^{2} (2 - x) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int 1 \cdot 2 + 1 (- x) + x^{2} (2 - x) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int 1 \cdot 2 + 1 (- x) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x) d x$

解题步骤 1.4

将 $x^{2}$ 和 $2$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x) d x$

解题步骤 1.5

将 $x^{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x d x$

解题步骤 1.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 x^{2} - 1 x^{2} x d x$

解题步骤 1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 - x + 2 x^{2} - 1 x^{2} x d x$

解题步骤 1.8

提取负因数。

$\int 2 - x + 2 x^{2} - (x^{2} x) d x$

解题步骤 1.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 - x + 2 x^{2} - (x^{2} x^{1}) d x$

解题步骤 1.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 - x + 2 x^{2} - x^{2 + 1} d x$

解题步骤 1.11

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 - x + 2 x^{2} - x^{3} d x$

解题步骤 1.12

将 $2$ 和 $- x$ 重新排序。

$\int - x + 2 + 2 x^{2} - x^{3} d x$

解题步骤 1.13

将 $2 x^{2}$ 和 $- x^{3}$ 重新排序。

$\int - x + 2 - x^{3} + 2 x^{2} d x$

解题步骤 1.14

移动 $2$ 。

$\int - x - x^{3} + 2 x^{2} + 2 d x$

解题步骤 1.15

移动 $- x$ 。

$\int - x^{3} + 2 x^{2} - x + 2 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - x^{3} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int x^{3} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 \int x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - x d x + \int 2 d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x d x + \int 2 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

解题步骤 10.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

微积分学 示例

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