微积分学示例

$\int \frac{t^{3}}{3} + \frac{1}{4 t^{2}} d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{t^{3}}{3} d t + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int t^{3} d t + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

解题步骤 3

根据幂法则， $t^{3}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{4} t^{4}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{t^{2}} d t$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $t^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

解题步骤 5.2

将 ${(t^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int t^{2 \cdot - 1} d t$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int t^{- 2} d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{- 2}$ 对 $t$ 的积分是 $- t^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} (- t^{- 1} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 4} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

解题步骤 7.2.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $t^{- 1}$ 。

$\frac{1}{12} t^{4} - \frac{t^{- 1}}{4} + C$

解题步骤 7.2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- 1}$ 移动到分母。

$\frac{1}{12} t^{4} - \frac{1}{4 t} + C$

微积分学 示例

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