微积分学示例

$\int \sqrt{r} - \frac{1}{r^{3}} d r$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt{r} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{r}$ 重写成 $r^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int r^{\frac{1}{2}} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

解题步骤 3

根据幂法则， $r^{\frac{1}{2}}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{r^{3}} d r$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $r^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int {(r^{3})}^{- 1} d r$

解题步骤 5.2

将 ${(r^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{3 \cdot - 1} d r$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{- 3} d r$

解题步骤 6

根据幂法则， $r^{- 3}$ 对 $r$ 的积分是 $- \frac{1}{2} r^{- 2}$ 。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2} r^{- 2} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $r^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{r^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 7.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $r^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2 r^{2}} + C)$

解题步骤 7.2

化简。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} - - \frac{1}{2 r^{2}} + C$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 r^{2}} + C$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{1}{2 r^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 r^{2}} + C$

微积分学 示例

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