微积分学示例

$\int (t^{2} + t) \cos (3 t) d t$

解题步骤 1

运用分配律。

$\int t^{2} \cos (3 t) + t \cos (3 t) d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int t^{2} \cos (3 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t^{2}$ ， $d v = \cos (3 t)$ 。

$t^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (3 t)$ 。

$t^{2} \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 4.2

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{\sin (3 t)}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 t) (t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 t) (t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = \sin (3 t)$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{1}{3} \cos (3 t)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\cos (3 t)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{\cos (3 t)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 8.2

组合 $t$ 和 $\frac{\cos (3 t)}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 8.3

组合 $\cos (3 t)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - - \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 10.2

将 $\int \frac{\cos (3 t)}{3} d t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 12

使 $u_{1} = 3 t$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u_{1} = 3 t$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 12.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 12.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 12.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 13

组合 $\cos (u_{1})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 15

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解题步骤 15.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 15.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 16

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \int t \cos (3 t) d t$

解题步骤 17

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = \cos (3 t)$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (3 t)$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

解题步骤 18.2

组合 $t$ 和 $\frac{\sin (3 t)}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

解题步骤 19

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t)$

解题步骤 20

使 $u_{2} = 3 t$ 。然后使 $d u_{2} = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 20.1

设 $u_{2} = 3 t$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 20.1.1

对 $3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 20.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 20.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 20.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 20.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 21

组合 $\sin (u_{2})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

解题步骤 22

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 23.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 24

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2}) + C)$

解题步骤 25

化简。

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解题步骤 25.1

化简。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2})) + C$

解题步骤 25.2

化简。

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解题步骤 25.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + 1 (\frac{1}{9}) \cos (u_{2}) + C$

解题步骤 25.2.2

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \cos (u_{2}) + C$

解题步骤 25.2.3

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

解题步骤 26

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 26.1

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

解题步骤 26.2

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (3 t)}{9} + C$

解题步骤 27

重新排序项。

$\frac{1}{3} t^{2} \sin (3 t) + \frac{2}{9} t \cos (3 t) - \frac{2}{27} \sin (3 t) + \frac{1}{3} t \sin (3 t) + \frac{1}{9} \cos (3 t) + C$

微积分学 示例

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