微积分学示例

$\int \frac{2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4 x} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{3} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x (x^{2} + 4)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x^{2} + 4)$ 。

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.5.2

用 $2 x^{2} - x + 4$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1.1

约去公因数。

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.1.2

用 $A (x^{2} + 4)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - x + 4 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.2

运用分配律。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.3

将 $4$ 移到 $A$ 的左侧。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.4

约去 $x^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.4.1

约去公因数。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.4.2

用 $(B x + C) (x)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

解题步骤 1.1.6.5

运用分配律。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

解题步骤 1.1.6.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.6.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

解题步骤 1.1.6.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.1.7

移动 $4 A$ 。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$4 = 4 A$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

将方程重写为 $C = - 1$ 。

$C = - 1$

$2 = A + B$

$4 = 4 A$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 1$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将方程重写为 $4 A = 4$ 。

$4 A = 4$

$C = - 1$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.2

将 $4 A = 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.3.2.2.1

将 $4 A = 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.3.1

用 $4$ 除以 $4$ 。

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

解题步骤 1.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $1$ 替换 $2 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = - 1$

解题步骤 1.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

去掉圆括号。

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

解题步骤 1.3.4

在 $2 = 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $1 + B = 2$ 。

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = - 1$

解题步骤 1.3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = - 1$

解题步骤 1.3.4.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

解题步骤 1.3.5

求解方程组。

$B = 1 A = 1 C = - 1$

解题步骤 1.3.6

列出所有解。

$B = 1, A = 1, C = - 1$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{1}{x} + \frac{1 x - 1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

去掉圆括号。

$\frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x - 1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 4

分解分数 $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ 成为两个分数。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 7

使 $u = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 7.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 7.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 8.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{2 u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $x^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 12.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 13

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ 。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

解题步骤 14.2

化简。

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 15

使用 $x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

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