微积分学示例

$\int {(3 t + 2)}^{2.4} d t$

解题步骤 1

使 $u = 3 t + 2$ 。然后使 $d u = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 t + 2$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 t + 2$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t + 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 t + 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ 。

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [3 t]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{2.4} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{2.4}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{u^{2.4}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int u^{2.4} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{2.4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3.4} u^{3.4}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3.4} u^{3.4} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{1}{3.4} u^{3.4} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} (0.29411764 u^{3.4}) + C$ 。

$\frac{1}{3} (0.29411764 u^{3.4}) + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $0.29411764$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{0.29411764}{3} u^{3.4} + C$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{0.29411764}{3}$ 和 $u^{3.4}$ 。

$\frac{0.29411764 u^{3.4}}{3} + C$

解题步骤 6

使用 $3 t + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{0.29411764 {(3 t + 2)}^{3.4}}{3} + C$

解题步骤 7

重新排序项。

$\frac{0.29411764}{3} {(3 t + 2)}^{3.4} + C$

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